不同元素分组问题

1. 不均匀分组问题将不同元素分成若干组，若各组内元素数均不相同，则采用逐组挑选法。

2. 均匀分组问题将不同元素分成若干组，若有k个组内元素数相同，则在逐组挑选法的基础上除以消除重复。

典型题目

【例1】将4本不同的书，分成两组，每组至少一本且数量互不相同，则有多少种分组方式(　)。

A.2 B.4 C.6 D.8

【中公解析】 4本不同的书分成数量不同的两种，那只能是一组1本，一组3本。不同元素不均匀分组问题，采用逐组挑选法。首先从4本不同的书中选1本作为第一组，种情况，再从剩下3本中选3本作为第二组，种情况。分步用乘法，一共有种情况。选择B选项。

【例2】将4本不同的书，平均分成两组，则有多少种分组方式(　)。

A.2 B.3 C.4 D.5

【中公解析】 4本不同的书平均分成两组，那也就是每组2本。有2个组内元素数相同，属于均匀分组问题，需要在逐组挑选法的基础上除以。首先从4本不同的书中选2本作为第一组，种情况，再从剩下2本中选2本作为第二组，种情况。逐组挑选完毕，再除以，一共有种情况。选择B选项。

在这两道题目中，例1的不同元素的不均匀分组情况，采用逐组挑选法很好理解。关键问题是例2均匀分组时，有2个组内元素数相同，为什么要除以。在这里简单说明一下。比如说这4本不同的书我们分别用甲乙丙丁来表示。分组情况如下表：

在表格中，我们可以发现第一种和第六种，斗志甲乙一组，丙丁一组，从分组情况上来说并无区别。第二种和第五种都是甲丙一组，乙丁一组，从分组上来说并无区别。第三种和第四种都是甲丁一组，乙丙一组，从分组情况上来说并无区别。所以是两两重复的。而两两重复我们可以理解为是把两组排了第一组和第二组两个不同的位置产生的，也就是有种重复的情况，所以最后要在逐组挑选的基础上除以。

平均分成2组，会有种重复情况存在，同理，我们可以知道，平均分成k组，会有种重复情况存在。所以将不同元素分成若干组，若有k个组内元素数相同，则在逐组挑选法的基础上除以消除重复。