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容斥问题常规的考点有二者容斥和三者容斥问题，利用一些公式以及文氏图能够轻松地解决。今天我们就把这个题型深入挖掘探讨。容斥问题也会涉及到求极值的问题，接下来我们就以题目为例讲解下容斥中求极值问题怎么处理。

例题1、某一学校有500人，其中选修数学的有359人，选修文学的有408人，那么两种课程都选的学生至少有多少人?

A.165 B.203 C.267 D.199

【答案】C。读完题目我们就能判断出考察容斥问题中的二者容斥问题，但是有涉及到求极值问题。解极值问题我们可以通过逆向思维来求解，题目要求两种课程都选的至少，即求没选课程的人数最多。

通过这个表格我们可以得出要想不选课程的人数最多，即未选数学的141人和未选文学的92人不重复，因此不选课程的人数最多为141+92，因此题目所求的两种都选的最少=500-(141+92)=267人，故选C。

例题2、阅览室有100本杂志。小赵借阅过其中75本，小王借阅过70本，小刘借阅过60本，则三人共同借阅过的杂志最少有()本。

A.5 B.10 C.15 D.30

【答案】A。读完题目我们也可以判断出事考察三者容斥中的极值问题，那么我们也可以利用逆向思维来求解，

所以我们也能知道未借阅的杂志最多=25+30+40，那么题目所求=100-(25+30+40)=5，因此选A。

通过这2道例题的讲解我们了解到容斥问题的极值问题其实也可以很简单，求N部分都包含的至少=(A+B+C+D+...+N)-(N-1)×I，后期我们碰到这样的问题直接带入公式求解就可以啦。

例题3、有135人参加某单位的招聘，31人有英语证书和普通话证书，37人有英语证书和计算机证书，16人有普通话证书和计算机证书，其中一部分人有三种证书，而一部分人则只有一种证书。该单位要求必须至少有两种上述证书的应聘者才有资格参加面试。问至少有多少人不能参加面试?

A.50 B.51 C.52 D.53

【答案】D。读完题目我们也可以确定是在考察三者容斥问题的极值问题，但是并不和之前的两道题一样，所以不能直接带入到刚才总结的那个公式，此时，我们就需要结合三者容斥的基本公式和文氏图来进行求解。

由图可知a1、a2、a3表示的是只有英语证书，只有普通话证书和只有计算机证书，现在用a表示这三部分之后，即a=a1+a2+a3，x表示三种证书都有的人，因此全部人数135=a+31+37+16-2x，所以得出所求量a=51+2x，要求a的最小，即x要取最小，结合题目要求x最小为1，因此a=51+2=53，因此选D选项。

通过中公教育上述三道例题的讲解，相信容斥问题求极值应该问题不大了，求几部分都包含的至少可直接带入我们的结论求解，求其他的极值我们就结合公式和图形来求解即可。大家快动起手来吧，多试几道题，这个部分完全可以攻破。

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