19．已知函数f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．

（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（2）求函数f（x）单调增区间；

（3）若存在x1，x2∈［﹣1，1］，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．

19．【答案】解：（1）∵f（x）=ax+x2﹣xlna，

∴f′（x）=axlna+2x﹣lna，

∴f′（0）=0，f（0）=1

即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为0，

∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；

（2）由于f‘（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna＞0

①当a＞1，y=2x单调递增，lna＞0，所以y=（ax﹣1）lna单调递增，故y=2x+（ax﹣1）lna单调递增，

∴2x+（ax﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f’（x）＞f‘（0），所以x＞0

故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；

②当0＜a＜1，y=2x单调递增，lna＜0，所以y=（ax﹣1）lna单调递增，故y=2x+（ax﹣1）lna单调递增，

∴2x+（ax﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f’（x）＞f‘（0），所以x＞0

故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；

综上，函数f（x）单调增区间（0，+∞）；

（3）因为存在x1，x2∈［﹣1，1］，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，

所以当x∈［﹣1，1］时，|（f（x））max﹣（f（x））min|

=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，

由（2）知，f（x）在［﹣1，0］上递减，在［0，1］上递增，

所以当x∈［﹣1，1］时，（f（x））min=f（0）=1，

（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，

而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（ +1+lna）=a﹣ ﹣2lna，

记g（t）=t﹣ ﹣2lnt（t＞0），

因为g′（t）=1+ ﹣ =（ ﹣1）2≥0（当t=1时取等号），

所以g（t）=t﹣ ﹣2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，

所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，

也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；

当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）

①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e，

②当0＜a＜1时，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1⇒ +lna≥e﹣1⇒0＜a≤ ，

综上知，所求a的取值范围为a∈（0， ］∪［e，+∞）．